比如教师从学生的作业中发现的问题。练习如下：

一学生解答如下：

tan∠BAM=BM/BA

BM=BA×tan∠BAM=17×tan31°=17×0.6=10.2

同理BN=BA×tan∠BAN=17×tan60.5°=17×1.8=30.6

MN=BN－BM＝30.6－10.2＝20.4

t=MN÷0.5=20.4÷0.5＝40.8≈41

从解题中发现，学生注意解题中近似值多取一位精确度，但是所取的精确度并不符合本题的要求。正确的取法应该是

BM=BA×tan∠BAM=17×tan31°=17×0.6009=10.2153≈10.2

BN=BA×tan∠BAN=17×tan60.5°=17×1.7675=30.0475≈30.0

MN=BN－BM＝30.0－10.2＝19.8

t=MN÷0.5=19.8÷0.5＝39.6≈40

反思：

教学中学生对教师所讲的知识不能深刻的理解。一方面有学生的理解能力问题。另一方面作为教师在一些细节上应该注意，比如本节中近似值取法的问题，就应该分清加减运算和乘除运算两类。进行区别对待。这样就不会出现上述的问题了。

背景说明：

《2.1二次函数所描述的关系》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（新世纪版）九年级下册。本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。

教学中我让学生通过分析实际问题（探究橙子的数量与橙子树之间的关系），从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，归纳出二次函数的概念，从中体会函数的建模思想，感受数学的广泛联系和应用价值。

教学片断：

一、由实际问题探索二次函数关系

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

[师]问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

[生]变量有树的数量、每棵树上平均结的橙子数以及所有树上总共结的橙子数。其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有树上总共结的橙子数是因变量。

此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。

[师]假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？

如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。

请大家互相交流后回答。

[生]（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x＋100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600－5x)个橙子。

（3）如果果园橙子的总产量为y个，则y=(x＋100)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000。

[师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗?

[生]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数。但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数。

二、想一想

[师]如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?

[生]种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多?

让学生在生活情景中学习数学，带着兴趣学数学，体验每个人都学有用的数学。

[师]请大家发表自己的看法。

安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。

[生1]在函数y=－5x2＋100x＋60000中，因为原来种植100棵时果园橙子的总数目为60000，所以影响果园橙子总产量的应该为－5x2＋100x，我令－5x2＋100x=0，解得x1=0，x2=20。所以我认为x的取值应该在0<x<20之间。

[师]确实如此？那在0<x<20之间到底取何值能使y取到最大值？

[生2]我取了当x＝5时，y＝60375

当x＝10时，y＝60500

当x＝15时，y＝60375

[师]从这里你发现了什么？

[生2]那最大值应该出现在5<x<15。

[师]如何说明？

[生2]继续取值：当x＝8时，y＝60480

               当x＝9时，y＝60495

               当x＝11时，y＝60495

[师]能不能知道当x＝12时y的值？

[生]脱口而出：y＝60480

[师]由此大家能发现什么？

[生]从0－5－8－9－10随着x的值增大，函数值y也增大。从10－11－15－20随着x值的增大，函数值y却减小。

可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大。当x取10时，y取最大值。x大于10时，y的值反而减小。因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，最大值是60500。

教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象。

[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将在后面的学习中专门进行研究。

……

教学反思：

这样的教学处理让学生经历了数学学习的全过程，从自己的角度去猜测、去尝试、去探索增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量达到最多。课堂中学生表现出极大的兴趣去探究问题。教师给学生充分的探究空间和时间。教师对学生的探究加以指导，但却不是完全代劳。本课的教科书提供了一个表格让学生进行探索。

[师]请大家先填表，再猜测。

通过填表的方式，学生应该能发现当x＝10时y的值最大。但是我并没有采用。

由教师给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算的思想，分段取值，逐步逼近。发现函数与方程的联系（如：令－5x2+100x＝0解得x1＝0，x2=20），发现变与不变的关系（如：发现60000是常量，进而去研究－5x2+100x的值的大小）。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。第二天的教学就能很好地说明这点，在学习第二节课二次函数的图象时，学生能很快想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习不再变得抽象难懂。

    教学过程应强调学生的自主性，但并不忽视教师的指导。我们应特别强调教师适时的、必要的、谨慎的、有效的指导，以追求让学生真正从探究中有所收获，包括使他们增进对世界的认识，不断提升他们的探究素质，从而使学生的探究实践得到不断提高和完善。

    教学过程中教师应该注意自己角色的把握，引导学生进行解题的反思、归纳、分析得出解决问题的方法，体现了教师作为教学的引导者。在与学生的交流中主动参与学生的探究，口吻应该是参与式的。当学生能独立解决时，教师能把机会让给学生，让学生充分表达自己的思想，体现了教师是教学的合作者、参与者。在探究过程中，老师要很好地处理“学生自主学习与教师指导”的关系，要给学生足够的探究时间和空间，不能全部包办，给学生设计好所有探究的步骤、方向，让学生沿着教师预设好的问题一步一步地进行所谓的“探究”。同时也不能走另一个极端。教师虽然有让学生探究的愿望，但由于给学生探究的空间过大，思维的路径缺乏方向。这对天资教高或训练有素的学生可能会有一定的教学效果，但对于大多数学生往往启而不发。这种缺乏相应的教学材料、教学设计和教学资源情况下的启发，是违背循序渐进原则的启发。我们提倡在教师适度引导下的探究性学习，让学生亲自参与由表及里不断深入的理解过程，从而体验到发现所带来的快乐，实践了抽取实际事务量的关系而舍弃其他一切表面现象的一种思维活动。这样的探究教学活跃了学生的思维，数学变得亲切，学生乐于接受。挖掘生活中有关实例，对生活有丰富的感性认识的基础上，引导学生在他们理解的基础上来进行探究，真正形成师生是互动的“学习共同体”。在这种氛围中，真正调动了学生的探究欲望。课堂教学中真正体现教师是教学的组织者、引导者、合作者、参与者。

如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上其中AE=3，AF=4。

(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？

(2).设矩形的面积为y cm2当x取何值时,y的最大值是多少?

2个班级的教学我采用了不同的方法。

1、班级1：

学生对2个问题进行思考和讨论后做了解答，当AB=2时，y的最大值为3，此时AD＝1.5。

师：在线段EF上是否只存在一个点C使得矩形的面积最大？

生：应该有另一个位置，即当AB=1.5，AD=2时此时矩形的面积y＝3也为最大。

其他的学生也纷纷表示赞同。

毕竟在数学学习中多次给学生形成这样的印象，一个问题有多种角度去理解。象上面的问题当AB=2，AD＝1.5时y＝AB×AD＝2×1.5＝3。那当然就应该存在另一种可能即当AB=1.5，AD＝2时y＝AB×AD＝1.5×2＝3。

事实上本题却不然。

师：大家思考当AB=1.5时，AD的值是为2？

学生纷纷去计算AD的值，发现AD的值并不是他们所认为的2，而应该是15/8。从而发现刚才所认为的“当然存在”的第二种情况事实上是不发生的。

师：其实从第2小题的解答大家就能发现，y是x的二次函数，而我们知道通常情况二次函数的最大值出现在顶点的位置，而顶点只有一个的啊。

学生恍然大悟。

2、班级2：

在给出问题1的解决方法后学生找出了当AB=2时，y的最大值为3，此时AD＝1.5。提出问题(2).设矩形的面积为y cm2当x取何值时,y的最大值是多少?之后让学生思考面积y会随着x的变化而变化？在什么时候会取得最大值？

先利用几何画板的动画和计算功能让学生明确了随着x的变化y的值也发生了变化，并且可以看出最大值为3。

生1：当AB和AD的长度很接近的时候。面积会变大

师：是否意味着长度相等的时候面积会最大？

生1：应该是当四边形ABCD为正方形的时候面积最大。

生2：我认为是当B是AF的中点的时候面积最大。

师：有2种猜想，请大家用计算来说明问题，列出y关于x的关系式，并求出面积y的最大值。

通过师生的共同探索发现当x＝2时，y取得最大值为3。

生：当x＝2，此时AB＝2刚好等于AF的一半。说明当B是AF的中点的时候面积最大。

师：当x＝2时，仅仅是B点为中点？

生：当x＝2时，可以算得AD=1.5此时D点也为AE的中点。

生：当B为中点时。利用平行线和相似的性质可以推得C也是EF的中点。

师：很好，其实我们可以发现当矩形ABCD面积取得最大值的时候点B、D、C分别是各边的中点。

师：在线段EF上是否只存在一个点C使得矩形的面积最大？

生：不会的，因为中点只有一个。

（1）如图，第n个图形中有多少个小正方形？你是如何计算的？

（2）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9，…，1+3+5+7+9+…+(2n－1)

对于第一题学生很快就能从图形中寻找到答案。从第一个为1，第二个为4，第3个为9，第4个为16，按照上面的规律学生给出了第n个的时候的总数为n2。第二题有部分学生给难住了。

我做了提示，“能不能看第一题的图？”

经过思考，学生纷纷了解了算法。原来第二题利用了第一题的图做好对应计算就可以了。第二个积木就代表1+3，第3个积木图就代表1+3+5，以此类推，第n个积木图就应该代表1+3+5+7+9+…+(2n－1)的值。

经过点拨学生已经达到了本题的设计意图。不过看到这一题的设计我又有了下面的想法。

在大学的时候学到数学史，介绍了古希腊的数学学派，毕达哥拉斯学派，其中有个内容就是解决上述问题的，正方形数，具体见下图。第一条线段围住的数代表1，第一条线段和第二条线段围住部分的数刚好为3，第二条线段所包含的部分就是代表1+3。第二条线段和第3条线段围住部分的数刚好为5，第3条线段所包含的部分就是代表1+3+5，以此类推，到第n条线段所包含的部分就是代表1+3+5+7+9+…+(2n－1)。而上述问题的答案也很显然能直接看出来为n2。讲解完这种解法。学生都瞪大了眼睛，当知道这种方法早在5世纪就已经发现了，学生更折服于数学的魅力。我当然不能放过这个传播数学文化的机会了。顺势简单介绍了毕达哥拉斯学派，当然少不了学生已经学到的无理数的知识和数学史上的第一次数学危机。只可惜的是下课的铃声是毫不客气的响了，只好把学习放在了课外，给学生介绍了我熟知的数学常识。里边就有学生感兴趣的数学史上的3大数学危机。

反思：

习题讲评课是非常乏味的，要让学生感兴趣就要让学生在课堂中有所获，数学问题讲评的多角度正是学生所需要的。适当的时候跟学生介绍些数学史，可以达到很好的效果，让学生体会到数学的文化，提高了学生学习数学的兴趣。

我听的第二节课是《7.2线段、射线、直线》。在原来的鲁教版中我也曾经上过“线段、射线、直线”，感觉这节内容非常简单，不论怎么上也不会上砸，同时想上出新意，上出特色也很难。新的人教版的这节课的内容安排与原来的版本的安排没有很大的差异。

老师引入新课设计了一个数学猜谜游戏，学生的气氛一下就给带动了起来。3个谜底刚好就是上课的主题“线段、射线、直线”。随后安排了学生看书。通过学生看书，让学生归纳书本所介绍的内容。教学的片段记录：

师：本部分内容讲了哪些知识？

生：线段、射线、直线的表示。

师：线段怎样表示？

教师给出一条线

生：线段上找个点表示

师：线段上有很多点，如何表示？

生：要用线段的端点。

师：如何表示？

生：AB线段。BA线段。

生2：应该是线段AB。线段BA

师：对，“线段”描述在前

生：也可以记做线段a

师：要用两个端点表示线段，不能用中间的点表示。

教师让学生自己画一条线段并表示线段，然后在黑板上画一条线段让学生来表示。并强调了两个大写字母表示在端点处。

然后采用同样的方法学习了射线、直线的表示法。

再对线段、射线、直线进行了比较，师生共同讨论出异同点。巩固相应的练习。采用学生选题指定同学回答，并对回答做出评价。

听完课后的感想。从课堂上可以看出上课老师是位非常细致认真的老师，研究教材也很深入，从上面的一段对话就能反映出老师的教学特点。教学上注重课堂评价，有师生评价，生生评价，关注学生的参与程度，合作交流的意识与情感态度的发展。同时在教学过程中让学生先看书，然后归纳本节内容，是本节课设计的一大亮点，因为分析本节课内容，学生在小学已经有了“线段、射线、直线”的基础，如果教师一味的讲解势必造成学生没有兴趣听课。这样的设计把学习的过程交给了学生，培养了学生的归纳能力。由于比较注重把时间和学习过程交给学生，而且在讲解上比较的细致，导致上课的时间安排上有头重脚轻的感觉。由此想到在讲授线段、射线、直线的表示法的时候是否有必要都采用“学生归纳，教师总结，学生画图，教师画图，师生校对”这一教学流程，可否改变下教学的流程，改为“学生归纳，教师总结，学生画图，投影校对”节约下一定的时间为后面的知识探究留下足够的时间。

另外从课堂上可以看出学生的相互评价的效果并不是很理想，学生之间的评价所用的词多为“还好”“一般”，在同学回答的比较理想的情况下学生的评价分数也只有“80分”。看来学生在课堂中的相互评价这一问题还是值得研究的

      多媒体的程序化让数学课堂成为“放映厅”；上课前，教师已经设计好的一个完美的课件程序，上课时，教师只需要按部就班程序化地按键，课件便按顺序“播放”下去。这一堂课，教师变成“播映员”，学生变成“观看者”，师生一起“围着屏幕看”。当然作为“博映员”的教师必须想方设法将学生的思路引到电脑的既定流程上来，而作为“观看者”学生们思路也必须循着屏幕展示思路，否则，会让上课教师十分为难。

      教无定法！不同的学生、不同的老师、不同的教材、不同的课题，而且不同的上课时间，授课方式和知识的呈现方式都会有所不同，岂能用一个固定的教学模式、一张统一的时间表或者某些量的指标，来衡量是否已做到以学生为本？

      课堂教学既是一门科学，又是一门艺术。作为一门科学，就应该有一定的评价标准；而作为一门艺术，贵在创新，就不应该有唯一的评价标准。无论如何，数学课堂教学也应该崇尚行云流水般的自然流畅而非任何流于形式的“作秀”；还应该给予学生以广阔的自由纯真的空间而非人为的非自然的设置；更应该还给数学以其理性自然的真面目而非过于矫情的人文渗透。

      从上面可以看出，新课程下的数学教学不能仅有一些形式上的表象，而应抓住数学的本质，体现数学的美。

反思：

观察学生数学课堂听课状况有下面5类

1、上课不听也不做与课堂有关的事。这类学生如果在课堂中占多数的话，那么大家也知道意味着什么了。

2、上课不听，自己自学或做作业。如果出现这种情况的话要考虑是否教材所涉及的内容过与简单，学生没有听课的兴趣。或者是老师的教学方法是否过于乏味。

3、上课偶尔放松。分为2类。一是放松了去关注自己的私人话题（与课堂无关）这样的话，师生都需要检讨。老师要发挥好自己组织者的作用，学生要检讨自己为何会放松要求。二是自己去研究所遇见的问题。这就需要让学生明白如何在课堂中合理利用时间的问题。就如同有些学生课堂中遇见不懂的问题，就一直问同桌同学，结果是2个人把问题研究清楚了，却把课堂中需要听的部分给落下了。

4、上课能随老师的安排去听课。也分2类。一是能在老师分析后领悟所学的知识。二是能与老师的分析同步理解所学的知识。如果课堂中能有多数学生能达到第二种情况的话，那么这个班级学生的数学素质已经很高了。

5、带着问题来听课，带着思考去听课，带着问题结束这节课。这应该是所有老师所追求的最好结果。课堂已经不仅是传授学生知识，更重要的是交给学生学数学的方法，让学生去体验数学的美。当然这与所上的课型有关，所涉及的教学内容有关，也与老师的教学观念、教学水平有关，也离不开学生的学习习惯的培养。课堂中带着思考去听课，也就是要让学生不惟书，不惟师，敢与说出自己的想法，求异思维。如果学生能坚持这样的学习。那么必然是会乐于学习，能发现问题，并能提出问题，也能去寻求解决问题的方法了。做为老师所需要做的就是给学生搭建好平台，让学生去展示自己。